Полураспавшиеся и распавшиеся матрицы

Матрица $A$ называется **блочно-диагональной** или **(верхней) полураспавшейся**, если она имеет вид: $$A = \begin{pmatrix} B & C \\ 0 & D \end{pmatrix}$$ где $B$ - $k\times k$-матрица, $D$ - $(n-k)\times(n-k)$-матрица. Если $C = 0$, то такая матрица называется **распавшейся**.

Матрица $A$ называется (верхней) **квазитреугольной**, если она имеет вид: $$A = \begin{pmatrix} B & C & \dots & Z_{1} \\ 0 & D & \dots & Z_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & Z_{n} \end{pmatrix}$$ где в клетках стоят матрицы. Если все матрицы вне диагонали равны $0$, то такая матрица называется **квазидиагональной**

Пусть матрица $A$ является полураспавшейся, то есть имеет вид: $$A = \begin{pmatrix} B & C \\ 0 & D \end{pmatrix}$$ Тогда: $$\det A = \det B \cdot \det D$$

Применим теорему Лапласа к последним $(n-k)$ строкам. Если разложить определитель по этим строкам, то $$\det A = (-1)^S \det B \cdot \det D$$ (остальные слагаемые зануляются из-за формы матрицы) Так как $S = \sum\limits_{j=n-k+1}^{n} j + \sum\limits_{j=n-k+1}^{n} j = 2\sum\limits_{j=n-k+1}^{n} j$ - чётное число, то $(-1)^{S} = 1$ и $\det A = \det B \cdot \det D$ $\square$

Пусть матрица $A$ является квазидиагональной, то есть имеет вид: $$A = \begin{pmatrix} B_{1} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & B_{2} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & B_{3} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & B_{n} \end{pmatrix}$$ Тогда: $$\det A = \prod_{k=1}^{n} \det B_{k}$$

Индукция по числу блоков $n$ **База индукции:** $n=1$. Тривиально. **Шаг индукции:** Предположим, что утверждение верно для $n-1$ блоков, где $n-1 \ge 1$. То есть, для квазидиагональной матрицы $A'$ с $n-1$ блоками $B'_1, \dots, B'_{n-1}$, выполнено $\det A' = \prod\limits_{k=1}^{n-1} \det B'_{k}$. Рассмотрим квазидиагональную матрицу $A$ с $n$ блоками $B_1, \dots, B_n$: $$A = \begin{pmatrix} B_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & B_{2} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & B_{n} \end{pmatrix}$$ Представим $A$ в виде блочной $2 \times 2$ матрицы: $$A = \begin{pmatrix} B_1 & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \widetilde{B} \end{pmatrix}$$ где $\mathbf{0}$ - нулевые блоки, $\widetilde{B}$ - квазидиагональная матрица из блоков $B_{2}, B_{3}, \dots, B_{n}$. Применяя формулу определителя полураспавшейся матрицы, получаем: $$\det A = \det B_{1} \cdot \det \widetilde{B}$$ Пользуясь предположением индукции: $$\det \widetilde{B} = \prod_{k=2}^{n} \det B_{k}$$ А значит: $$\det A = \det B_{1} \cdot \prod_{k=2}^{n} \det B_{k} = \prod_{k=1}^{n} \det B_{k}$$ $\square$